I love Copper Sulfate!

Quantized Standing Wave of Neutrons in the Gravitational Field

The discrete quantum properties of matter are manifested in a variety of phenomena. Any particle that is trapped in a sufficiently deep and wide potential well is settled in quantum bound states. For example, the existence of quantum bound states of electrons in an electromagnetic field is responsible for the structure of atoms, and quantum bound states of nucleons in a strong nuclear field give rise to the structure of atomic nuclei. 

In an analogous way, the gravitational field should lead to the formation of quantum bound states. But the gravitational force is extremely weak compared to the electromagnetic and nuclear force, so the observation of quantum states of matter in a gravitational field is extremely challenging. Because of their charge neutrality and long lifetime, neutrons are promising candidates with which to observe such an effect (they have no electric charge and do not subject to the influence of the ubiquitous electromagnetic fields). 

Here physicists report a beautiful experimental evidence for gravitational quantum bound states of neutrons. The particles are allowed to fall towards a horizontal mirror which, together with the Earth's gravitational field, provides the necessary confining potential well. Under such conditions, the falling neutrons do not move up and down continuously along the vertical direction, but rather jump from one height to another, as predicted by quantum theory. 

A neutron detector was developed to be used to measure the spatial density distribution in the standing neutron wave above the mirror for a set of some of the lowest quantum states.

 

Vietnamese: Các thuộc tính lượng tử gián đoạn của vật chất được thể hiện rất rõ trong nhiều hiện tượng khác nhau. Bất kì một hạt nào bị bẫy trong một giếng thế đủ sâu và rộng đều nằm trong các trạng thái liên kết lượng tử. Thí dụ, sự tồn tại các trạng thái liên kết lượng tử của các electron trong một trường điện từ chịu trách nhiệm cho cấu trúc của các nguyên tử; và các trạng thái liên kết lượng tử của các nucleon trong một trường lực hạt nhân mạnh làm nảy sinh cấu trúc của các hạt nhân nguyên tử. 

Theo một cách tương tự, trường hấp dẫn cũng phải dẫn đến sự hình thành của các trạng thái liên kết lượng tử. Nhưng lực hấp dẫn là quá yếu so với lực điện từ và lực hạt nhân, do đó việc quan sát được các trạng thái lượng tử của vật chất trong một trường hấp dẫn thực sự là một thách thức to lớn. Do tính trung hòa về điện và thời gian sống dài, các neutron là những ứng cử viên đầy triển vọng cho việc quan sát những hiệu ứng như vậy (chúng không có điện tích và không phải chịu bất cứ ảnh hưởng nào từ các trường điện từ đầy rẫy xung quanh). 

Ở đây các nhà vật lý thông báo một bằng chứng thực nghiệm tuyệt đẹp cho các trạng thái liên kết lượng tử trong trường hấp dẫn của các neutron. Các hạt neutron được để cho rơi xuống một mặt gương nằm ngang; mặt gương này cùng với trọng trường của Trái đất tạo ra một giếng thế cần thiết để giam hãm các neutron. Dưới những điều kiện như vậy, các neutron đang rơi không chuyển động lên xuống một cách liên tục dọc theo hướng thẳng đứng, mà trái lại chúng nhảy từ độ cao này đến độ cao khác, như được tiên đoán bởi thuyết lượng tử.

Một neutron detector được dùng để đo sự phân bố mật độ trong không gian của sóng đứng  neutron phía trên gương đối với một vài trạng thái lượng tử thấp nhất.

  

Về cơ bản thí nghiệm này đã được thực hiện như sau: Nếu bạn chuẩn bị một chùm neutron chuyển động rất chậm - với tốc độ khoảng 5 m/s - bạn có thể làm cho chúng nhảy trên một mặt phản xạ giống  như bạn lia một hòn sỏi sao cho nó có thể nhảy nhót trên mặt hồ. Khi đó bạn sẽ quan sát thấy rằng thành phần chuyển động theo phương thẳng đứng của các neutron - với vận tốc nhỏ hơn nhiều so với thành phần vận tốc theo phương ngang, khoảng 5 cm/s - bị lượng tử hóa! Chúng ta hãy cùng xem xét một cách chi tiết hơn...

Rơi tự do trong Cơ học cổ điển ...

Để hiểu được thí nghiệm này tốt hơn, chúng ta hãy quay trở lại và xem xét chuyển động cực kì đơn giản của một quả bóng được thả rơi xuống mặt sàn. Nếu mặt sàn phẳng và quả bóng đàn hồi một cách lí tưởng sao cho không có sự mất mát năng lượng thì quả bóng sẽ nảy trở về độ cao ban đầu nơi mà nó đã rơi xuống từ đó, rồi lại rơi xuống, nảy trở lên, rơi xuống và cứ như thế. Tình huống lý tưởng khi mà quả bóng nảy lên rơi xuống mãi mãi này có thể được gọi là một "trạng thái dừng" khi mà năng lượng của hệ là xác định và không thay đổi theo thời gian. Hình bên cạnh cho ta một cái nhìn trực quan. Ở đây người ta chụp lại hình ảnh của một quả bóng đang rơi tự do, cứ mỗi giây lại chụp một hình sau đó lồng tất cả những hình ảnh thu được lại với nhau. Dễ nhận thấy rằng quãng đường đi được của quả bóng tỷ lệ với bình phương của thời gian. Độ cao của quả bóng so với mặt sàn như là một hàm số của thời gian được chỉ ra ở bên trái (đường cong màu xanh) của hình bên dưới:  nó đơn giản là một chuỗi những đường parabol hết sức đẹp mắt. 
Bây giờ chúng ta có thể đặt câu hỏi, xác suất để tìm thấy quả bóng ở một độ cao nhất định phía trên mặt sàn là bao nhiêu?  Nhìn vào hình bên cạnh ta thấy rõ ràng rằng xác suất để tìm thấy quả bóng  là cao nhất tại gần điểm "turning point" phía trên nơi quả bóng bắt đầu rơi xuống và thấp nhất ở gần mặt sàn nơi quả bóng nảy lên. Hàm mật độ xác suất phụ thuộc vào độ cao được chỉ ra ở bên phải của hình phía dưới (đường cong màu đỏ).

...và trong Cơ học lượng tử

Quá đủ cho Cơ học cổ điển, như chúng ta biết về nó từ những trải nghiệm trong cuộc sống thường nhật. Trong Cơ học lượng tử, thật không may là không còn chỗ cho những khái niệm kiểu như quỹ đạo của một hạt, với tọa độ và vận tốc như là những đại lượng có thể xác định chính xác một cách đồng thời tại một thời điểm bất kì trong thời gian. Tuy nhiên sẽ vẫn có nghĩa khi chúng ta nói về các trạng thái dừng và mật độ xác suất tìm thấy hạt ở một tọa độ nhất định. Trong Cơ học lượng tử, chính hàm sóng cung cấp cho ta thông tin quan trọng về mật độ xác suất này bằng cách tính bình phương của nó. Và quy luật tự nhiên quyết định hàm sóng được mã hóa trong phương trình Schrödinger nổi tiếng. Phương trình Schrödinger cho các trạng thái dừng là một "phương trình trị riêng" mà nghiệm của nó đồng thời xác định hàm sóng và năng lượng của trạng thái tương ứng. 

trong đó H là toán tử Hamiltonian.


Đối với chuyển động một chiều của một hạt trong một trường lực không đổi, chẳng hạn hàm thế năng trong trọng trường V(x) = mgx (thế tuyến tính) của một hạt có khối lượng m ở độ cao  x so với mặt đất với gia tốc g ở bề mặt Trái đất, ta có

Trong một vài trường hợp, phương trình Schrödinger có thể giải ra được nghiệm chính xác - các hàm sóng được cho bởi những hàm số thuộc "hàng khủng" mà chúng ta ít khi gặp phải. Những hàm số này giống như những con thú xinh đẹp xổng ra từ vườn thú của cái gọi là những hàm số đặc biệt (special functions). Như trong trường hợp chuyển động của một hạt trong thế tuyến tính khi mà nghiệm của phương trình Schrödinger được cho bởi hàm Airy function Ai(x). (Hàm số này xuất hiện lần đầu tiên trong vật lý học khi nhà thiên văn người Anh George Airy áp dụng lý thuyết sóng về ánh sáng cho hiện tượng cầu vồng). Chúng ta thử thảo luận chi tiết hơn về lời giải cho phương trình thú vị này.
Trước hết thay vì xác định chiều dài theo đơn vị metre và năng lượng theo đơn vị joule, chúng ta sẽ dùng các đơn vị chiều dài và năng lượng sau đây:

Khi đó x = ylo và E = ЄEo trong đó y và  Є là những con số không có thứ nguyên nhưng được hiểu như là chiều dài và năng lượng theo đơn vị lo và Eo. Thế x và E vào phương trình Schrödinger cho ta

Cuối cùng với z = y - Є, ta có

Phương trình này được gọi là phương trình Airy (phương trình vi phân tuyến tính bậc hai đơn giản nhất) và nghiệm của nó chính là các hàm Airy (gồm hai nghiệm độc lập tuyến tính). Nghiệm tổng quát của phương trình Airy là một tổ hợp tuyến tính của hai hàm đó

 

trong đó a và b là các hằng số. 

Dưới đây là đồ thị của hai hàm Ai(z) (màu đỏ) và Bi(z) (màu xanh). Chú ý điểm z = 0 (tương ứng với độ cao x = Єlo so với mặt đất) chính là điểm "turning point" nơi mà tính chất của hàm số chuyển từ dao động hình sin sang dạng hàm mũ. (Thực tế biến số trong hình là x nhưng trong trường hợp này chúng ta có thể coi là z.)

 

Dễ thấy rằng Bi(z) phân kì ở những giá trị lớn của z và nó là một hàm sóng không chuẩn hóa được. Do hàm sóng phải là hữu hạn, nghiệm của phương trình đơn giản chỉ còn là

trong đó a là hệ số chuẩn hóa.


Hàm sóng mô tả một hạt rơi tự do là một sóng truyền đi trên trục x. Khi sóng này gặp mặt gương tại x = 0 nó sẽ bị phản xạ trở lại và giao thoa với sóng tới tạo ra một kiểu sóng dừng với các nút và bụng sóng. Ở đây mặt gương được xem như một hàng rào thế cao vô hạn cùng với đường thẳng thế năng trong trọng trường giao nhau tại gốc tọa độ tạo ra một loại giếng thế.

Do V(x) = ∞ đối với x < 0  nên xác suất tìm thấy hạt ở các tọa độ âm là bằng không và do tính chất liên tục của hàm sóng nên hàm sóng phải thỏa mãn điều kiện biên, tức là xác suất tìm thấy hạt ở x = 0 cũng phải là zero, do vậy:

Tại x = 0 thì z = y - Є = x/lo - Є = - Є. 
Để hàm sóng tại biên bằng không thì chỉ có những giá trị của Є sao cho Ai(z) = Ai(-Є) = 0 là thỏa mãn. Các phép toán cho ta kết quả trong bảng sau (các giá trị của z tại đó Ai(z) = 0 cũng có thể được nhìn thấy tại các điểm nút của hàm sóng trong đồ thị hàm số ở trên):

Ta thấy rằng điều kiện biên chỉ được thỏa mãn khi hệ nhận các giá trị năng lượng Є = 2.3381; 4.08794; 5.52055; etc. Nghĩa là các trị riêng năng lượng (tính theo joule) cho ba trạng thái đầu tiên của hạt sẽ là

Như vậy hạt chỉ có thể nhận những trị năng lượng gián đoạn (lượng tử hóa) và không thể có các giá trị năng lượng khác ngoài các trị riêng ở trên. Dưới đây là sơ đồ bốn mức năng lượng thấp nhất (lần lượt là 1.44; 2.53; 3.42; 4.21 peV) và các hàm mật độ xác suất (bình phương hàm sóng) tương ứng của hạt trong giếng thế (góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng thế năng). (Trong hình này biến số là z nhưng cần được hiểu là x.)

  
Các trạng thái lượng tử của hạt trong trường hấp dẫn

Như là kết quả của việc giải phương trình Schrödinger, có một trạng thái dừng với năng lượng cực tiểu - trạng thái cơ bản - và một dãy các trạng thái kích thích với năng lượng cao hơn. Dưới đây là hình dạng hàm sóng của trạng thái kích thích thứ hai như là một hàm số của độ cao so với mặt đất:

Hàm sóng, được thể hiện ở phía trái, là một sóng dừng kết quả của sự giao thoa giữa sóng tới (hạt rơi xuống) và sóng phản xạ (hạt nảy lên), dao động qua hai nút và giảm xuống  tới zero theo hàm mũ ở bên trên chiều cao giới hạn cổ điển, tương ứng với điểm turning point phía trên của đường parabol của một hạt cổ điển có cùng năng lượng. 
Chiều cao giới hạn ứng với mỗi trạng thái cũng như chiều dài của từng bụng sóng (bước sóng) phụ thuộc vào khối lượng của hạt, và cường độ (gia tốc) trọng trường. Đối với các neutron trong trạng thái này, chiều cao này là x = 5.52055lo = 32.4 µm phía trên mặt gương. Các hàm sóng khác có một chiều cao giới hạn khác và càng lên cao thì thế năng cực đại tại điểm turning point và do đó năng lượng toàn phần càng cao. Để thu được hình dạng của các hàm sóng ta chỉ cần dịch chuyển vị trí của gương phản xạ trên các điểm nút của hàm Airy, nhưng vì vị trí gương là cố định nên đúng hơn phải là nối dài bằng cách thêm các bụng sóng vào phía dưới các hàm sóng  của các trạng thái thấp hơn  để thu được các hàm sóng cao hơn (việc này làm cho các hàm sóng ngày càng cao hơn và biên độ giảm xuống).

Đường cong màu xanh ở bên phải thể hiện mật độ xác suất tương ứng với hàm sóng. Đường này hoàn toàn khác với đường mật độ xác suất cổ điển (màu đỏ). Như là một  thuộc tính đặc trưng của một hệ lượng tử, bên cạnh hai nút là nơi mà chúng ta không bao giờ tìm thấy hạt ở đó, lại có một xác suất nhất định để tìm thấy hạt ở phía trên điểm giới hạn cổ điển. Đây là một thí dụ của hiệu ứng đường hầm (the tunnel effect): luôn có một cơ hội để tìm thấy hạt lượng tử trong những vùng nơi mà theo các định luật của vật lý cổ điển hạt không được phép tồn tại ở đó do không đủ năng lượng.

Tuy nhiên, khi đi từ trạng thái cơ bản lên các trạng thái kích thích ngày càng cao hơn cuối cùng sẽ tái tạo lại phân bố xác suất của vật lý cổ điển. Điều này thể hiện cái gọi là nguyên lý tương ứng (the correspondence principle), và chúng ta có thể thấy ý nghĩa của nó nếu nhìn vào hàm sóng cho trạng thái kích thích thứ 60: Ở đây, phân bố xác suất thu được từ hàm sóng lượng tử bám khá sát đường phân bố cổ điển.

Đến đây, chúng ta đã bàn xong về lý thuyết: phương trình Schrödinger và các nghiệm của nó dưới dạng hàm số Airy. Không có bất cứ lý do gì để nghi ngờ tính đúng đắn của phương trình Schrödinger: nó đã được kiểm nghiệm một cách rộng rãi trong vô số tình huống khác nhau, từ vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý chất rắn cho tới toàn bộ hóa học! Tuy nhiên, trong tất cả những tình huống này, tương tác của các hạt liên quan đều là tương tác điện từ, không phải tương tác hấp dẫn. Vì lý do này, sẽ là cực kì thú vị nếu nghĩ  ra được cách để kiểm tra nghiệm của phương trình Schrödinger cho các hạt trong trường hấp dẫn. Như chúng ta đã chỉ ra trước đó, cách tốt nhất để làm điều này là làm việc với các neutron, để tránh các hiệu ứng điện từ gây nhiễu.

Các neutron nảy lên rớt xuống trong trọng trường 

Thật không may là đến nay người ta vẫn chưa thể quét  (scan) trực tiếp phân bố xác suất của các neutron trong trọng trường. Tuy nhiên, trong một hệ thống thí nghiệm rất thông minh, người ta có thể nhìn vào sự truyền qua của các neutron qua một đường hầm giữa mặt phản xạ nằm ngang nơi mà chúng có thể nhảy tựa như những viên sỏi trên mặt hồ, và một máy thu (absorber) dịch chuyển được ở phía trên. Dưới đây là sơ đồ thí nghiệm:

 

Ý tưởng quyết định trong thí nghiệm này đó là thay đổi độ cao của máy thu so với mặt phản xạ, và theo dõi sự truyền qua của các neutron như là một hàm số của độ cao này. Nếu máy thu ở quá thấp, trạng thái cơ bản cho phần chuyển động  rơi tự do theo phương thẳng đứng của các neutron không vừa với đường hầm , tức là máy thu nằm ở độ cao mà tại đó xác suất để hàm sóng của neutron suy sụp tại đó là lớn và do đó hầu hết các neutron sẽ bị hấp thụ bởi máy thu và hầu như không có neutron nào thoát ra khỏi đường hầm. Sự truyền qua bắt đầu xảy ra một khi chiều cao của đường hầm đủ lớn để vừa khớp với hàm sóng của trạng thái cơ bản, tức là lúc này máy thu nằm ở độ cao sao cho mật độ xác suất tìm thấy hạt tại đó là rất nhỏ (phần giảm nhanh theo hàm mũ phía trên điểm turning point của hàm sóng) và do đó xác suất để máy thu bắt gặp neutron tại đó cũng rất nhỏ, mà xác suất để neutron bị hấp thụ nhỏ đồng nghĩa với việc xác suất để nó đi qua được đường hầm là rất lớn. Hơn nữa, với chiều cao ngày càng tăng của đường hầm, cứ khi nào mà một hàm sóng kích thích nữa fit vào đường hầm (tức là khi máy thu nằm cao hơn turning point của hàm sóng đó) thì sự truyền qua lại tăng lên. Hàm sóng và mật độ xác suất tương ứng với những bước đầu tiên này được thể hiện trong hình dưới đây:

Điều thú vị ở đây là, liệu sự tăng lên từng bước một của độ truyền qua này có thể được quan sát thấy trong dữ liệu thực nghiệm hay không? Dưới đây là những dữ liệu đo được, và trong thực tế - bước đầu tiên có thể được nhìn thấy một cách rõ ràng, và các bước thứ hai và thứ ba cũng có thể được nhận ra.

Đây chính là sự kiểm nghiệm đầu tiên đối với các trạng thái lượng tử hóa của hạt trong trường hấp dẫn!

Chúng ta có thể hiểu thêm những gì từ thí nghiệm này?

Bạn có thể thắc mắc liệu có phải thí nghiệm này đã thể hiện chẳng qua chỉ là một kiểu lượng tử hóa của "hạt trong một hộp" (particle in a box - một hạt tự do chuyển động trong một không gian giới hạn bởi những bức vách không thể xuyên qua), vì đường hầm cho các neutron tạo bởi mặt phản xạ và máy thu có thể đã tạo nên một hộp như vậy. Trong thực tế sự phản biện này đã được đưa ra trong một bài nhận xét, và đã được trả lời bằng các tính toán chi tiết và những thí nghiệm được cải tiến: kết luận về sự lượng tử hóa trong trường hấp dẫn vẫn hoàn toàn giữ nguyên giá trị!
Tuy nhiên, những hạn định về sự điều chỉnh của trọng lực Newton từ thí nghiệm này vẫn còn rất hạn chế. Một sự điều chỉnh như vậy sẽ làm thay đổi thế mà các neutron chuyển động trong đó. Thí dụ, một lực hấp dẫn trong phạm vi tác dụng ngắn gây ra bởi vật chất cấu tạo nên mặt phản xạ có thể đóng góp một phần vào thế của các neutron. Tuy nhiên, một thế bổ sung như vậy là rất yếu và gần như không hề có ảnh hưởng gì đối với toàn bộ hàm sóng của neutron.
Hơn nữa, rõ ràng rằng trong thí nghiệm, trường hấp dẫn luôn là một trường cổ điển, bản thân nó hoàn toàn không bị lượng tử hóa. Có một khả năng rằng một neutron có thể trải qua một bước nhảy lượng tử, chẳng hạn, từ trạng thái lượng tử hóa thứ hai về trạng thái cơ bản, và do đó phát ra một graviton - tương tự như electron trong một nguyên tử phát ra một photon khi nó thực hiện một bước chuyển trạng thái trong trường điện từ. Thật đáng tiếc là xác suất để điều này xảy ra là rất thấp đến nỗi sẽ là không hợp lý nếu trông đợi nó sẽ được quan sát thấy...

Nhưng tất cả những hạn chế này không hề làm thay đổi một sự thật rằng đây là một thí nghiệm cơ bản hết sức thú vị và một ngày nào đó nó có thể sẽ len lỏi vào các cuốn giáo trình Cơ học lượng tử để thêm một minh chứng tuyệt đẹp cho ý nghĩa của hàm sóng và sức mạnh của phương trình sóng Schrödinger!

---

References

See the first description of the experiment in this article:

In search of quantum states of the neutron in a gravitational field: gravitational levels - Nesvizhevsky et al

The best explanation of the experiment which you could find on the internet:

Bouncing neutrons in the gravitational field - Stefan Scherer @Backreaction

Wave - Particle Duality

"And here we are! The grand daddy of all quantum weirdness. The infamous Double slit experiment! To understand the experiment we first need to see how particles or little balls of matter act.
If we randomly shoot a small object, say a marble, at the screen we'll see a pattern on the back wall where they went through the slit and hit.
Now, if we add a second slit, we would expect to see a second band duplicated to the right.
Now, let's look at waves. The waves hit the slit and radiate out, striking the back wall with the most intensity directly in line with the slit. The line of brightness on the back screen shows that intensity, this is similar to the line the marbles make.
When we add a second slit, something different happens. If the top of one wave meets the bottom of another wave, they cancel each other out - so now there is an interference pattern on the back wall: places where the two tops meet are the highest intensity - the bright lines and where they cancel - there is nothing!
So when we throw things, that is matter through two slits, we get this: two bands of hit and with waves we get an interference pattern of many bands. Good! So far. 


Now, let's go quantum!
An electron is a tiny, tiny bit of matter, like a tiny marble. Let's fire a stream through one slit, it behaves just like the marbles, a single band. So if we shoot these tiny bits through two slit we should get, like the marbles, two bands. What? An interference pattern!
We fired electrons - tiny bits of matter through - but we get a pattern like waves, not like little marbles.
How? How could pieces of matter create an interference pattern like a wave? It doesn't make sense!

But physicists are so clever. They thought maybe those little balls are bouncing off each other and creating that pattern. So, they decide to shoot electrons through one at a time. There is no way they could interfere with each other. But after an hour of this the same interference pattern is seen to emerge!

 

The conclusion is inescapable - the single electron leaves as a particle, becomes a wave at potentials, goes through both slits and interferes with itself to hit the wall like a particle!
But mathematically it is even stranger - it goes through both slits and it goes through neither, and it goes through just one and it goes through just the other. All of these possibilities are in superposition with each other. But physicists were completely baffled by this! So, they decided to peek and see which slit the electron actually goes through!
They put a measuring device by one slit to see which one it went through.
But the quantum world is far more mysterious than they could have imagined - when they observed the electron went back to behaving like a little marble - it produced a pattern of two bands NOT an interference pattern of many!
The very act of measuring or observing which slit it went through meant it only went through one, not both. 
The electron decided to act differently. As though it was aware it was being watched!
And it was here that physicists stepped forever into the strange, never world of quantum events.
What is matter? Marbles or waves? And waves of WHAT? And what does an observer have to do with any of this?
The observer collapsed the wave function simply by observing!"

Warning: There are some idealists who want to make the others believe that the whole physical world is not real, it's just an illusion created out of our  pure mind. They may misunderstood what quantum mechanics told them about the measurment problem. Firstly, we measure, that is we have to use a device to detect the particle, not simply look at the wave with our unaided eyes and then make them transform into a particle. Electrons change their behavior not because someone who is whatching them makes them feel uneasy like when someone whatches you in the shower :D. In fact we must  shoot photons toward them or use a detector  to capture them on their way. And we don't need to follow the process and observe what happens. Therefore, the role of our conciousness here is insignificant. In other words, we don't have anything to do with the interaction between the wave and the detecting device. Secondly, by the act of measurement we just create "particles" out of their wave form, not ex nihilo (out of nothing). So one cannot say that we create the whole universe just by looking at it. Some physicists like to exaggerate the weirdness of quantum mechanics. They unawarely or not distorted the truth by saying such things.